문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 불완전성 정리 (문단 편집) === [[수학]] 및 그 사례 === 현대의 표준적 집합론인 [[ZFC 공리계]]는 [[페아노 공리계]]의 모형을 제공할 뿐 아니라 뭇 [[수 체계]]를 포괄한다는 점에서 표준 수학의 '기초'가 된다. 그런데 페아노 공리계를 해석할 수 있다는 그 점으로 인해 ZFC 또한 불완전성 정리에서 피해갈 수 없다. 결국 ZFC를 기초로 삼는 한 참임에도 불구하고 증명할 수 없는 명제가 존재하며, ZFC의 무모순성은 ZFC에서 증명할 수 없다. 관건은 수학적으로 충분히 "흥미로운" 명제 가운데서도 하필이면 증명불가능한 명제가 있느냐는 점. 공교롭게도 [[힐베르트의 23가지 문제]] 중 하나로도 꼽혔던 [[연속체 가설]]이 [[ZFC 공리계]]와 무모순이라는 것을 [[쿠르트 괴델]]이, 해당 가설의 부정이 ZFC와 무모순이라는 것을 [[폴 코언]]이 증명함으로써 불완전성 정리가 적용되는 흥미로운 사례가 입증되었다. 불행인지 다행인지 힐베르트는 연속체 가설이 무모순이라는 것만 보고 죽었지만... 아래는 그 대표적인 사례들이다. * [[ZFC 공리계]][* Zermelo-Fraenkel Set Theory + Axiom of Choice]의 [[선택공리]](Axiom of Choice) 자신과 이를 이용해 증명한 정리들은 무모순하지만 다른 공리를 이용해서 참인지 거짓인지 증명할 수 없다. * [[연속체 가설]][* 선택 공리와 연속체 가설이 증명 불가능하다는 것은 모두 [[폴 코언]](Paul Cohen)이 증명했고 반증이 불가능하다는 것은 괴델이 증명했다.]: 모든 무한집합의 원소수(기수)는 [math( \aleph_n )]꼴로 표현 할 수 있다 여기서 [math( 2 ^{\aleph_0} = \aleph_1 )] 이 성립하겠느냐는 것이 연속체 가설이고, 일반화된 것은 [math( 2^{\aleph_N} = \aleph_{N+1} )] 이 성립하지 않을까 하는 일반연속체가설. 좀 더 자세한 것은 [[연속체 가설]]과 [[초한기수]] 문서 참조. * Word problem for groups[* 공리계에 관한 내용은 아니지만, Undecidability 에 관한 문제라, 불완전성 정리와 가까운 문제라 볼 수 있다. 유한집합인 임의의 알파벳 A 의 문자로 생성된 group G 가 있다고 하자. 역시 A 의 문자들로 구성된 임의의 word 2개를 만들어, 그것이 G 에서 같은 원소인지 아닌지 구분하는 알고리듬이 존재하는가 하는 문제인데, Higman 에 의하여 불가능하다고 증명되었다.] * Whitehead[* 러셀과 수학 원리를 공동 집필한 [[앨프리드 노스 화이트헤드]]가 아니라 그 조카인 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드다.] problem: torsion-free, total separable group 은 free 인가[* ZFC 에서 증명도 반증도 불가능하다. ZFC에 V=L(이 역시 괴델이 제시한것으로, 괴델 공리라고도 불린다.) 공리를 추가하면 free 가 맞고, MA(Martin's axiom) 와 연속체가설의 부정을 추가하면 free 가 아니다.] * [[http://www.nature.com/news/paradox-at-the-heart-of-mathematics-makes-physics-problem-unanswerable-1.18983|네이처 기사]] [[http://newspeppermint.com/2015/12/10/m-godel/|번역 및 설명]](불'''완'''전성 정리가 적용되는 물리학 문제.)저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기